Elektrotechnické vzorce

Elektřina a magnetismus
- Základní veličiny
- Pasívní prvky
Napětí a proud
- Stejnosměrné napětí a proud
  - Ohmův zákon
  - Elektrický výkon
- Střídavé napětí a proud
Třífázová soustava
- Souměrná třífázová soustava
  - Napětí
  - Třífázový výkon
Elektrické vedení
- Provozní parametry
- Výpočet chodu vedení

Elektřina a magnetismus

Základní veličiny

Veličina		Jednotka
Značka	Název	Značka	Název	Rozměr
$\overline{U}$	Napětí	V	Volt	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-1}$
$\overline{I}$	Proud	A	Ampér	$A$
$\overline{Z}$	Impedance	Ω	Ohm	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$R$	Rezistance	Ω	Ohm	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$X$	Reaktance	Ω	Ohm	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$X_{L}$	Indukční reaktance	Ω	Ohm	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$X_{C}$	Kapacitní reaktance	Ω	Ohm	$m^{2}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$\overline{Y}$	Admitance	S	Siemens	$m^{-2}.kg^{-1}.s^{3}.A^{2}$
$G$	Konduktance	S	Siemens	$m^{-2}.kg^{-1}.s^{3}.A^{2}$
$B_{L}$	Indukční susceptance	S	Siemens	$m^{-2}.kg^{-1}.s^{3}.A^{2}$
$B_{C}$	Kapacitní susceptance	S	Siemens	$m^{-2}.kg^{-1}.s^{3}.A^{2}$
$\overline{S}$	Zdánlivý výkon	VA	Voltampér	$m^{2}.kg.s^{-3}$
$P$	Činný výkon	W	Watt	$m^{2}.kg.s^{-3}$
$Q$	Jalový výkon	VAr	Voltampér reaktanční	$m^{2}.kg.s^{-3}$
$\rho$	Rezistivita	Ω.m	Ohmmetr	$m^{3}.kg.s^{-3}.A^{-2}$
$C$	Kapacita	F	Farad	$m^{-2}.kg^{-1}.s^{4}.A^{2}$
$L$	Indukčnost	H	Henry	$m^{2}.kg.s^{-2}.A^{-2}$
$Q$	Elektrický náboj	C	Coulomb	$A.s$
$f$	Frekvence	Hz	Hertz	$s^{-1}$
$T$	Perioda	s	sekunda	$s$

Pasívní prvky

Rezistor

Elektrický odpor

$R=\rho .\frac{l}{s}$

Sériové řazení rezistorů

$R=\sum_{i=1}^{n}R_{i}=R_{1}+R_{2}+..+R_{n}$

Paralelní řazení rezistorů

$\frac{1}{R}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{R_{i}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+..+\frac{1}{R_{n}}$

$R=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+..\frac{1}{R_{n}}}$

speciálně pro dva paralelní rezistory

$R=\frac{R_{1}.R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$

Vodivost

$G=\frac{1}{R}$

Kapacitor

Sériové řazení kapacitorů

$\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+..+\frac{1}{C_{n}}$
$C=\frac{1}{\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+..\frac{1}{C_{n}}}$

speciálně pro dva sériové kapacitory

$C=\frac{C_{1}.C_{2}}{C_{1}+C_{2}}$

Paralelní řazení kapacitorů

$C=\sum_{i=1}^{n}C_{i}=C_{1}+C_{2}+..+C_{n}$

Induktor

Sériové řazení induktorů

$L=\sum_{i=1}^{n}L_{i}=L_{1}+L_{2}+..+L_{n}$

Paralelní řazení induktorů

$\frac{1}{L}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{L_{i}}=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}+..+\frac{1}{L_{n}}$

$L=\frac{1}{\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}+..\frac{1}{L_{n}}}$

Napětí a proud

Stejnosměrné napětí a proud

Ohmův zákon

$R=\frac{U}{I}$

R - elektrický odpor [Ω] [Ohm]
U - elektrické napětí [V] [Volt]
I - elektrický proud [A] [Ampér]

Elektrický výkon

$P=U.I$

$P=R.I^{2}$

$P=\frac{U^{2}}{R}$

P - činný výkon [W] [Watt]
R - elektrický odpor [Ω] [Ohm]
U - elektrické napětí [V] [Volt]
I - elektrický proud [A] [Ampér]

Střídavé napětí a proud

Ohmův zákon

$\overline{Z}=\frac{\overline{U}}{\overline{I}}$

Z - impedance [Ω] [Ohm]
U - elektrické napětí [V] [Volt]
I - elektrický proud [A] [Ampér]

Impedance

$\overline{Z}=R+jX$

Reaktance

$X=X_{L}-X_{C}$

Indukční reaktance

$X_{L}=2.\pi .f.L=\omega .L$

Kapacitní reaktance

$X_{C}=\frac{1}{2.\pi .f.C}=\frac{1}{\omega .C}$

Jednofázový výkon

Zdánlivý výkon

$\overline{S}=\overline{U}.\overline{I}^{*}$

$\left | S \right |=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}$

Činný výkon

$P=Re\left [ \overline{S} \right ]$

$P=\left | U \right |.\left | I \right |.\cos \varphi$

Jalový výkon

$Q=Im\left [ \overline{S} \right ]$

$Q=\left | U \right |.\left | I \right |.\sin \varphi$

Třífázová soustava

Souměrná třífázová soustava

Napětí

Časový průběh

$u_{R}\left ( t \right )=U_{m}.\sin \left ( \omega .t \right )$
$u_{S}\left ( t \right )=U_{m}.\sin \left ( \omega .t -\tfrac{2.\pi }{3}\right )$
$u_{T}\left ( t \right )=U_{m}.\sin \left ( \omega .t -2.\tfrac{2.\pi }{3}\right )=U_{m}.\sin \left ( \omega .t +\tfrac{2.\pi }{3}\right )$

Vyjádření pomocí fázorů

$\overline{U_{R}}$
$\overline{U_{S}}=\overline{U_{R}}.e^{\frac{-j2\pi}{3}}$
$\overline{U_{T}}=\overline{U_{R}}.e^{\frac{-j4\pi}{3}}=\overline{U_{R}}.e^{\frac{j2\pi}{3}}$
$\overline{U_{R}}+\overline{U_{S}}+\overline{U_{T}}=0$

Sdružené napětí

$\overline{U_{RS}}=\overline{U_{R}}-\overline{U_{S}}$
$\overline{U_{ST}}=\overline{U_{S}}-\overline{U_{T}}$
$\overline{U_{TR}}=\overline{U_{T}}-\overline{U_{R}}$
$\overline{U_{RS}}+\overline{U_{ST}}+\overline{U_{TR}}=0$
$\left | U_{RS} \right |=\sqrt{3}.\left | U_{R} \right |$

Třífázový výkon

Zdánlivý výkon

$\overline{S}=3.\left \overline{U_{R}}.\overline{I_{R}}^{*}$

Činný výkon

$P=3.\textrm{Re}\left [\overline{U_{R}}.\overline{I_{R}}^{*} \right ]$

Jalový výkon

$Q=3.\textrm{Im}\left [\overline{U_{R}}.\overline{I_{R}}^{*} \right ]$

Elektrické vedení

Provozní parametry

Vlnová impedance

$\overline{Z_{V}}=+\sqrt{\frac{\overline{Z_{l1}}}{\overline{Y_{q1}}}}$

Konstanta šíření

$\overline{\gamma }=+\sqrt{\overline{Z_{l1}}.\overline{Y_{q1}}}=+\sqrt{\left ( R_{1}+j\omega L_{1} \right ).\left ( G_{1}+j\omega C_{1} \right )}=\alpha +j\beta$

Činitel tlumení

$\alpha =\sqrt{\frac{1}{2}\left [ \sqrt{\left ( R_{1}^{2}+\omega ^{2}.L_{1}^{2} \right ).\left ( G_{1}^{2}+\omega ^{2}.C_{1}^{2} \right )}+\left ( R_{1}.G_{1}-\omega ^{2}.L_{1}.C_{1} \right )\right ]}$

Činitel fázového natočení

$\beta=\sqrt{\frac{1}{2}\left [ \sqrt{\left ( R_{1}^{2}+\omega ^{2}.L_{1}^{2} \right ).\left ( G_{1}^{2}+\omega ^{2}.C_{1}^{2} \right )}+\left (\omega ^{2}.L_{1}.C_{1} - R_{1}.G_{1}\right )\right ]}$

Fázová rychlost vlny

$\upsilon _{F}=\frac{\omega }{\beta }$

Délka vlny

$\lambda =\frac{2\pi }{\beta }$

Výpočet chodu vedení

Základní vztah

Maticový zápis

$\begin{bmatrix} \overline{U_{1}}\\ \overline{I_{1}} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \overline{A} & \overline{B}\\ \overline{C} & \overline{D} \end{bmatrix}. \begin{bmatrix} \overline{U_{2}}\\ \overline{I_{2}} \end{bmatrix}$

Rovnice

$\overline{U_{1}}=\overline{A}.\overline{U_{2}}+\overline{B}.\overline{I_{2}}$
$\overline{I_{1}}=\overline{C}.\overline{U_{2}}+\overline{D}.\overline{I_{2}}$

$\overline{U_{1}}$ - fázové napětí na začátku vedení
$\overline{I_{1}}$ - proud na začátku vedení
$\overline{U_{2}}$ - fázové napětí na konci vedení
$\overline{I_{2}}$ - proud na konci vedení
$\overline{A},\overline{B},\overline{C},\overline{D}$ - Blondelovy konstanty viz. tabulka přenosových konstant

Rovnice pro chod naprázdno

$\overline{I_{2}}=0\Rightarrow \overline{U_{10}}=\overline{A}.\overline{U_{2}}$
$\overline{I_{10}}=\overline{C}.\overline{U_{2}}$

Rovnice pro chod nakrátko

$\overline{U_{2}}=0\Rightarrow \overline{U_{1k}}=\overline{B}.\overline{I_{2}}$
$\overline{I_{1k}}=\overline{D}.\overline{I_{2}}$

Přenosové konstanty

Čtyřpól	$\overline{A}$ [-]	$\overline{B}$ [Ω]	$\overline{C}$ [S]	$\overline{D}$ [-]
Homogenní vedení	$\cosh\overline{\gamma }.l$	$\overline{Z_{V}}.\sinh\overline{\gamma }.l$	$\frac{1}{\overline{Z_{V}}}\sinh\overline{\gamma }.l$	$\cosh\overline{\gamma }.l$
T	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2}$	$\left (1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{4} \right ).\overline{Z_{k}}.l$	$\overline{Y_{k}}.l$	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2}$
Π	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2}$	$\overline{Z_{k}}.l$	$\left (1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{4} \right ).\overline{Y_{k}}.l$	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2}$
Steimetz	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2} +\frac{\overline{Z_{k}^{2}}.\overline{Y_{k}^{2}}.l^{4}}{36}$	$\left (1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{6} \right ).\overline{Z_{k}}.l$	$\left (1+\frac{5.\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{36} +\frac{\overline{Z_{k}^{2}}.\overline{Y_{k}^{2}}.l^{4}}{216} \right ) .\overline{Y_{k}.l}$	$1+\frac{\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}}{2} +\frac{\overline{Z_{k}^{2}}.\overline{Y_{k}^{2}}.l^{4}}{36}$
Gama^*	1	$\overline{Z_{k}}.l$	$\overline{Y_{k}}.l$	$1+\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}$
Gama^**	$1+\overline{Z_{k}}.\overline{Y_{k}}.l^{2}$	$\overline{Z_{k}}.l$	$\overline{Y_{k}}.l$	1

^* - Gama článek s příčnou admitancí na začátku
^** - Gama článek s podélnou impedancí na začátku

$\overline{Z_{V}}$ - vlnová impedance [Ω.km^-1] [Ohm na kilometr]
$\overline{\gamma }$ - konstanta šíření [S.km^-1] [Siemens na kilometr]
$\overline{Z_{k}}$ - měrná podélná impedance [Ω.km^-1] [Ohm na kilometr]
$\overline{Y_{k}}$ - měrná příčná admitance [S.km^-1] [Siemens na kilometr]
$l$ - délka [km] [kilometr]

Výkonově-napěťové rovnice

$\overline{S_{1}}=\sqrt{3}.\overline{U_{1}}.\overline{I_{1}}^{*}=\overline{A}.\overline{C}^{*}.U_{2}^{2}+A^{2}.\overline{S_{2}}+\overline{B}.\overline{C}^{*}.\overline{S_{2}}^{*}+\overline{B}.\overline{A}^{*}.\frac{S_{2}^{2}}{U_{2}^{2}}$
$\overline{S_{2}}=\sqrt{3}.\overline{U_{2}}.\overline{I_{2}}^{*}=-\overline{A}.\overline{C}^{*}.U_{1}^{2}+A^{2}.\overline{S_{1}}+\overline{B}.\overline{C}^{*}.\overline{S_{1}}-\overline{B}.\overline{A}^{*}.\frac{S_{1}^{2}}{U_{1}^{2}}$

$\overline{U_{1}}$ - sdružené !!! napětí na začátku vedení
$\overline{I_{1}}$ - proud na začátku vedení
$\overline{S_{1}}$ - zdánlivý výkon na začátku vedení
$\overline{U_{2}}$ - sdružené !!! napětí na konci vedení
$\overline{I_{2}}$ - proud na konci vedení
$\overline{S_{2}}$ - zdánlivý výkon na konci vedení
$\overline{A},\overline{B},\overline{C},\overline{D}$ - Blondelovy konstanty viz. tabulka přenosových konstant

Literatura

M. Hodinka, Š.Fecko, F. Němeček - Přenos a rozvod elektrické energie, Nakladatelství: SNTL, 1989, ISBN 80-03-00065-3
M. Mikulec, V. Havlíček - Základy teorie elektrických obvodů I, Nakladatelství: ČVUT, 1987,ISBN 80-01-01620-X
R.C. Dugan, M.F. McGranaghan, S. Santoso, H.Wayne Beaty - Elektrical power systems quality, Nakladatelství: McGraw-Hill, 2002, ISBN 0-07-138622-X

René Vápeník www.elektro-energetika.cz